Euclides: Os Elementos

Os Elementos são - a seguir à Bíblia - provavelmente, o livro mais reproduzido e estudado na história do mundo ocidental. Foi o texto mais influente de todos os tempos, tão marcante que os sucessores de Euclides o chamavam de "elementador". Esta obra é considerada um dos maiores best-sellers de sempre. Obra admirada pelos matemáticos e filósofos de todos os países e de todos os tempos pela pureza do estilo geométrico e pela concisão luminosa da forma, modelo lógico para todas as ciências físicas pelo rigor das demonstrações e pela maneira como são postas as bases da geometria.

São raros os livros que têm sido tão editados, traduzidos e comentados como os Elementos de Euclides. Na antiga Grécia, esta obra foi comentada por Proclo (410 - 485), Herão (c. 10 - 75) e Simplício (490 - 560); na Idade-Média foi traduzida em latim e árabe; após a descoberta da imprensa, fizeram-se dela numerosas edições em todas as línguas europeias. A primeira destas edições foi a de Campano (1220 - 1296), em latim, publicada em 1482, edição usada por Pedro Nunes (1502 - 1578), que a citou numerosas vezes nas suas obras.
Em Portugal, publicou Angelo Brunelli em 1768 uma tradução em português dos seis primeiros livros, do undécimo e do duodécimo. Para esta tradução serviu-se da versão latina de Frederico Comandino e fê-la seguir de algumas notas com que Roberto Sinson (1687 - 1768) tinha ilustrado esta versão. Este livro, foi outrora muito usado nas escolas portuguesas razão pela qual se fizeram novas edições da tradução de Brunelli em 1790, 1792, 1824, 1835, 1839, 1852, 1855 e 1862.

Os Elementos de Euclides têm uma importância excepcional na história das matemáticas. Com efeito, não apresentam a geometria como um mero agrupamento de dados desconexos, mas antes como um sistema lógico. As definições, os axiomas ou postulados (conceitos e proposições admitidos sem demonstração que constituem os fundamentos especificamente geométricos e fixam a existência dos entes fundamentais: ponto, recta e plano) e os teoremas não aparecem agrupados ao acaso, mas antes expostos numa ordem perfeita. Cada teorema resulta das definições, dos axiomas e dos teoremas anteriores, de acordo com uma demonstração rigorosa.

Euclides foi o primeiro a utilizar este método, chamado axiomático. Desta maneira, os seus Elementos constituem o primeiro e mais nobre exemplo de um sistema lógico, ideal que muitas outras ciências imitaram e continuam a imitar. No entanto, não nos podemos esquecer de que Euclides se esforçou por axiomatizar a geometria com os meios de que dispunha na época. É pois, fácil compreender que o sistema que escolheu apresente algumas deficiências. Involuntariamente, em algumas das suas demonstrações admitiu resultados, muitas vezes intuitivos, sem demonstração.

Aspectos relevantes e conteúdo:

LIVRO I - Congruência de triângulos, Propriedades de retas paralelas, Paralelogramos, Teorema de Pitágoras. 23 definições, 5 postulados, 5 noções comuns e 48 proposições.

LIVRO II - Álgebra geométrica. 14 proposições, 2 definições.

LIVRO III - Teoria dos círculos. 11 definições, 37 proposições.

LIVRO IV - Construção de figuras inscritas e circunscritas. 7 definições, 16 proposições.

LIVRO V - Teoria das proporções de Eudóxio na sua forma puramente geométrica. 18 definições, 25 proposições.

LIVRO VI - Figuras semelhantes e proporções na geometria, Generalização do teorema de Pitágoras, Generalização do método de aplicação de áreas. 11 definições, 37 proposições.

LIVRO VII - Introdução à teoria dos números, Algoritmo de Euclides para determinação do máximo divisor comum entre dois números. 22 definições, 39 proposições.

LIVRO VIII - Números enquanto progressão geométrica. 27 proposições.

LIVRO IX - Demonstração de que existe um número infinito de primos. 36 proposições.

LIVRO X - Teoria dos números irracionais (Teteto). 16 definições, 115 proposições.

LIVRO XI - Sólidos geométricos. 28 definições, 39 proposições.

LIVRO XII - Medidas de figuras utilizando o método da exaustão. 18 proposições.

LIVRO XIII - Propriedades dos sólidos regulares. 18 proposições.