Euclides: Considerações Finas - Os Elementos

Ao escrever os Elementos, Euclides pretendia reunir num texto três grandes descobertas do seu passado recente: a teoria das proporções de Eudoxo, a teoria dos irracionais de Teeteto (417 a. C. - 369 a. C.) e a teoria dos cinco sólidos regulares, que ocupava um lugar importante na cosmologia de Platão.

Euclides compilou nos Elementos toda a geometria conhecida na sua época. Mas, não se limitou a reunir todo o conhecimento geométrico, ordenou-o e estruturou-o como ciência. Isto é, a partir de uns axiomas desenvolveu e demonstrou os teoremas e proposições geométricas, dando novas demonstrações quando as antigas não se adaptavam à nova ordem que havia dado às proposições. Além disso, esmiuçou a fundo as propriedades das figuras geométricas, das áreas e dos volumes e estabeleceu o conceito de lugar geométrico.

Embora os Elementos tenham algumas deficiências lógicas, pelos padrões actuais, tais deficiências passaram despercebidas durante mais de dois milénios. O movimento crítico iniciou-se talvez nos finais do século XVII, com John Wallis (1616-1703), continuando um pouco difuso durante o século seguinte, com o abade jesuíta Saccheri (1667-1733) e os matemáticos Lambert (1728-1777) e Gauss (1777-1855). É já bem dentro do século XIX que a crítica a Euclides se assume até às últimas consequências, culminando quer na proposta de geometrias alternativas por Bolyai (1802 - 1860), Lobachewski (1792 - 1856) e Riemann (1826 - 1866), quer numa completa revisão dos fundamentos da geometria euclidiana por Pasch (1843 - 1930) e por Hilbert (1862 - 1943), quer ainda no surgimento de novas concepções sobre a classificação das geometrias por Félix Klein (1849 - 1925).

Nada disto retira valor à monumental obra de Euclides. Como dizem Borsuk (1905 - 1982) e Szmielew (Foundations of geometry, 1960):

"Se o valor de um trabalho científico pode ser medido pelo tempo durante o qual ele mantém a sua importância, então os Elementos de Euclides são a obra científica mais válida de todos os tempos."