quinta-feira, 25 de setembro de 2008
Euclides: Geometrias não Euclidianas
Os postulados de Euclides tiveram expressão durante mais de dois mil anos, nunca tendo sido questionados. Mas, através das tentativas de reduzir o designado "axioma das paralelas" - por um ponto passa uma reta paralela a uma reta dada e uma só - a um teorema conduziram, no século XIX, a uma apreciação completa da sensatez do ponto de vista de Euclides ao adoptá-lo como um axioma e levaram à descoberta das chamadas geometrias não euclidianas.
Se, como Lobachevski, considerarmos que por um ponto passam infinitas retas paralelas a uma reta dada obtemos a geometria hiperbólica. Se, por outro lado, supusermos, como Riemann, que por um ponto não passa nenhuma reta paralela a uma recta dada teremos a geometria esférica.
Se, como Lobachevski, considerarmos que por um ponto passam infinitas retas paralelas a uma reta dada obtemos a geometria hiperbólica. Se, por outro lado, supusermos, como Riemann, que por um ponto não passa nenhuma reta paralela a uma recta dada teremos a geometria esférica.
Euclides: Panorama histórico
No entanto, existe a certeza de que, devido a Euclides, os conceitos de geometria adquiriram forma cientifica na Grécia. Embora a sua origem se encontre no antigo Egito, local onde sentiu a necessidade de efetuarem medições da terra devido às inundações periódicas do rio Nilo.
Medir as terras para fixar os limites das propriedades era uma tarefa importante nas civilizações antigas, especialmente no Egito. Ali, as enchentes do Nilo derrubavam os marcos fixados no ano anterior, obrigando os proprietários a refazer os limites de suas áreas de cultivo. Os egípcios tornaram-se hábeis delimitadores de terras e devem Ter descoberto e utilizando inúmeros princípios úteis relativos às características de linhas, ângulos e figuras - como por exemplo, o de que a soma dos três ângulos de um triângulo é igual a dois ângulos retos, e o de que a área de um paralelogramo é igual à do retângulo que tenha a mesma base e a mesma altura.
Os antigos egípcios devem ter obtido esses princípios por intermédio da observação e da experimentação - isto é, por intermédio de um raciocínio indutivo, medindo formas e comparando resultados. Os egípcios se limitaram à acumulação de conhecimentos que os habilitavam a resolver problemas de traçado de limites, de comparação de áreas, de projetos arquitetônicos e de engenharia de construções.
Os gregos perceberam o que os egípcios eram capazes de fazer, e assimilaram seus princípios empíricos. A este conhecimento, os gregos deram o nome de geometria - isto é, medida da terra . Mas os gregos apreciavam a Geometria também em virtude de seu interesse teórico. Aos gregos não bastou o critério empírico; procuraram encontrar demonstrações dedutivas rigorosas das leis acerca do espaço, que governavam as aplicações práticas da Geometria. Alguns filósofos gregos, em particular Pitágoras e Platão, davam enorme importância intelectual à Geometria, considerando que em sua forma pura e abstrata ela se aproximava bastante da metafísica e da religião.
Euclides: Axiomas
Os axiomas de Euclides são os seguintes:
Vemos que o quinto postulado de Euclides tem um enunciado bem mais complicado que os outros.
Na verdade ele pode ser colocado de uma maneira bem mais simples:
"Através de um ponto C, não localizado sobre uma dada linha reta AB, somente uma linha reta paralela a AB pode ser traçada, ou seja, uma linha situada no mesmo plano onde está a linha reta dada e que não a intersepta."
ou então
"Duas linhas paralelas são equidistantes"
Por mais de 2000 anos os matemáticos têm tentado demonstrar esse postulado sem sucesso.
A geometria Euclidiana é aquela que as pessoas comuns usam na sua vida diária. Nessa geometria soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180o, como vemos na figura ao lado.
Em uma geometria plana, ou geometria euclidiana, a distância entre dois pontos pode ser facilmente calculada. Se considerarmos somente
No entanto, embora o nosso mundo diário seja descrito por três dimensões espaciais, a matemática está ligando muito pouco para isso! Para ela um espaço pode ter um número qualquer de dimesões, até mesmo infinitas dimensões. E é essa a generalização que faremos agora, uma vez que precisaremos disso mais tarde.
Vamos então generalizar as expressões mostradas acima, e que nos ensinam como medir a distância entre dois pontos, para um número qualquer de dimensões espaciais. Para isso é melhor substituir as coordenadas x, y, z por xn onde n é um índice que pode ser igual a qualquer número inteiro positivo. Assim x será substituido por x1, y será escrito como x2, z será x3, e assim por diante até atingirmos o número equivalente à dimensão do espaço que queremos estudar. Em geral se queremos dizer que o espaço tem um número qualquer de dimensões escrevemos xn onde n assume os valores 1, ou 2, ou 3 ou qualquer outro valor inteiro positivo. Isso pode ser resumido escrevendo-se n = 1, 2, 3,...
Podemos então generalizar a expressão que nos dá a distância entre dois pontos em um espaço euclidiano de dimensão qualquer n escrevendo
ds² = dx1² + dx2² + dx3² + ..... + dxn²
onde n = 1, 2, 3, 4, ....
A expressão ds², que é chamada de elemento de linha ou métrica, é de importância vital nos cálculos da teoria da relatividade geral. A partir desse momento sempre que nos referirmos à distância entre dois pontos em um espaço de qualquer dimensão sempre a representaremos por ds².
Voltemos então às transformações de Lorentz, mostradas ao lado. Já sabemos que elas nos ensinam como estão relacionadas as coordenadas de um corpo vistas em um referencial em repouso e em um referencial que se desloca com velocidade constante v. Note que as transformações de Lorentz, por serem definidas para um espaço-tempo de 4 dimensões, misturam as coordenadas do espaço (x,y,z) com a de tempo (t).
Entretanto, havia sido demonstrado que as leis físicas tinham que ser invariantes por uma transformação de Lorentz. Isso quer dizer que as leis físicas não mudam quando são observadas em referencias inerciais, aqueles que estão em repouso ou em movimento retilíneo com elocidade constante. Consequentemente, um "elemento de linha" de uma geometria tem que ser invariante por uma transformação de Lorentz.
Vimos acima o elemento de linha que descreve um espaço de três dimensões. Vimos que essa expressão pode ser generalizada para um número qualquer de dimensões. Então, resta-nos perguntar qual seria a forma do elemento de linha que descreve a geometria do espaço-tempo de Lorentz, o espaço-tempo da teoria da relatividade restrita?
Nossa primeira idéia é acrescentar o termo temporal ao elemento de linha que descreve a distância entre dois pontos no caso tri-dimensional visto acima. Ficariamos com
ds² = dt² + dx1² + dx2² + dx3²
Mas isso está errado! Lembre-se que dx1, dx2 e dx3 são coordenadas de espaço, respectivamente dx, dy e dz, e, portanto, só podem somadas a outras coordenadas com dimensões de espaço. Como dt tem dimensão temporal nós o multiplicamos pela velocidade da luz para que o primeiro termo do elemento de linha acima também fique com as dimensões de
espaço (lembre-se que espaço = velocidade x tempo).
Se chamarmos o termo cdt de dx0, para mantermos a mesma forma das expressões usadas para as coordenadas do espaço, ficamos então com:
ds² = dx0² + dx1² + dx2² + dx3²
Essa seria a generalização quadri-dimensional da expressão que nos dá a distância entre dois pontos muito próximos no espaço Euclidiano.
Esse elemento de linha de um espaço-tempo de quatro dimensões está correto sob o ponto de vista de dimensões físicas (todos os termos tem dimensões de comprimento) mas, parafraseando Nelson Rodrigues, esse elemento de linha é "bonitinho mas ordinário". Ele não presta para descrever o espaço-tempo quadridimensional pois não é invariante por uma transformação de Lorentz!
Foi Minkowski quem mostrou que o "elemento de linha" invariante por uma transformação de Lorentz para um espaço-tempo com 4 dimensões deveria ser escrito como:
ds² = dx0² - dx1² - dx2² - dx3²
ou, equivalentemente,
ds² = - dx0² + dx1² + dx2² + dx3²
Com esse elemento de linha podemos falar de uma "geometria do espaço-tempo" do mesmo modo como falamos da geometria do espaço somente. Essa expressão é o elemento de linha ou métrica de um espaço-tempo plano 4-dimensional, também conhecido como espaço-tempo de Minkowski.
O conjunto de sinais (+ - - -) ou (- + + +) que antecedem os termos das expressões acima é chamado de assinatura da métrica. Note que ambos os conjuntos de sinais são corretos. Os dois elementos de linha descritos acima, com as duas assinaturas de métrica diferentes, são válidos para descrever o espaçotempo de Minkowski e esse espaço-tempo plano é onde definimos a teoria da relatividade restrita.
Como vimos anteriormente, podemos usar vários sistemas de coordenadas para descrever um espaço. Podemos usar as coordenadas cartesianas como feito acima, mas também podemos usar coordenadas cilíndricas e esféricas, por exemplo. Mostramos em um dos itens anteriores que as coordenadas esféricas são representadas por (��, ��, ��). As relações entre as coordenadas cartesianas (x, y, z) ou (x1, x2, x3) e as coordenadas esféricas (��, ��, ��) são dadas por:
x = x1 = �� sen �� cos ��
y = x2 = �� sen �� sen ��
z = x3 = �� cos ��
Se substituirmos isso na expressão da métrica de Minkowski dada acima teremos a expressão dessa métrica em coordenadas esféricas (que é a que os relativistas usam mais comumente):
ds2 = c2dt2 - dr2 - r2 (d��2 + sen2���� d��2)
Como dissemos antes essa é a expressão da distância entre dois pontos em um espaço-tempo
quadridimensional em coordenadas esféricas. Ela é invariante por uma transformação de Lorentz e, portanto, satisfaz às exigências da teoria da relatividade especial. Essa expressão é o elemento de linha de Minkowski ou métrica de Minkowski em coordenadas esféricas.
Um outro ponto a considerar é que se você compara a assinatura da métrica Euclidiana em um espaçotempo quadri-dimensional qualquer com a métrica de Minkowski nota imediatamente a diferença de sinal que existe entre elas. A métrica Euclidiana tem assinatura (+ + + +) enquanto que a métrica de Minkowski, por satisfazer às transformações de Lorentz, tem assinatura (+ - - -). A uma métrica que possui assinatura semelhante à métrica de Minkowski ou seja, com sinais diferentes em seus termos não importando se é (+ - - -) ou (- - - +), damos o nome de métrica pseudo-euclidiana.
DEFINIÇÃO TÉCNICA
Definição matemática de Espaço Euclidiano:
Seja V um espaço vetorial n-dimensional sobre R e seja �� uma forma bilinear simétrica em V tal que (v,v)��
- dados dois pontos há um intervalo que os une.
- um intervalo pode ser prolongado indefinidamente.
- um círculo pode ser construido quando seu centro e um ponto sobre ele são dados.
- todos os ângulos retos são iguais.
- se uma linha reta inclinada sobre duas linhas retas faz os ângulos interiores do mesmo lado menores do que dois ângulos retos, as duas linhas retas, se prolongadas indefinidamente, se encontram naquele lado no qual os ângulos são menores do que dois ângulos retos.
Vemos que o quinto postulado de Euclides tem um enunciado bem mais complicado que os outros.
Na verdade ele pode ser colocado de uma maneira bem mais simples:
"Através de um ponto C, não localizado sobre uma dada linha reta AB, somente uma linha reta paralela a AB pode ser traçada, ou seja, uma linha situada no mesmo plano onde está a linha reta dada e que não a intersepta."
ou então
"Duas linhas paralelas são equidistantes"
Por mais de 2000 anos os matemáticos têm tentado demonstrar esse postulado sem sucesso.
A geometria Euclidiana é aquela que as pessoas comuns usam na sua vida diária. Nessa geometria soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180o, como vemos na figura ao lado.
Em uma geometria plana, ou geometria euclidiana, a distância entre dois pontos pode ser facilmente calculada. Se considerarmos somente
- uma dimensão: a distância entre dois pontos será dada por ds
ds= dx2 - dx1
- duas dimensões:
ds2 = dx2 + dy2
- três dimensões:
ds2 = dx2 + dy2 + dz2
Essas são as expressões que nos dão a distância entre dois pontos em uma geometria euclidiana, não importando se eles estão muito afastados ou muitíssimo próximos.
No entanto, embora o nosso mundo diário seja descrito por três dimensões espaciais, a matemática está ligando muito pouco para isso! Para ela um espaço pode ter um número qualquer de dimesões, até mesmo infinitas dimensões. E é essa a generalização que faremos agora, uma vez que precisaremos disso mais tarde.
Vamos então generalizar as expressões mostradas acima, e que nos ensinam como medir a distância entre dois pontos, para um número qualquer de dimensões espaciais. Para isso é melhor substituir as coordenadas x, y, z por xn onde n é um índice que pode ser igual a qualquer número inteiro positivo. Assim x será substituido por x1, y será escrito como x2, z será x3, e assim por diante até atingirmos o número equivalente à dimensão do espaço que queremos estudar. Em geral se queremos dizer que o espaço tem um número qualquer de dimensões escrevemos xn onde n assume os valores 1, ou 2, ou 3 ou qualquer outro valor inteiro positivo. Isso pode ser resumido escrevendo-se n = 1, 2, 3,...
Podemos então generalizar a expressão que nos dá a distância entre dois pontos em um espaço euclidiano de dimensão qualquer n escrevendo
ds² = dx1² + dx2² + dx3² + ..... + dxn²
onde n = 1, 2, 3, 4, ....
A expressão ds², que é chamada de elemento de linha ou métrica, é de importância vital nos cálculos da teoria da relatividade geral. A partir desse momento sempre que nos referirmos à distância entre dois pontos em um espaço de qualquer dimensão sempre a representaremos por ds².
Voltemos então às transformações de Lorentz, mostradas ao lado. Já sabemos que elas nos ensinam como estão relacionadas as coordenadas de um corpo vistas em um referencial em repouso e em um referencial que se desloca com velocidade constante v. Note que as transformações de Lorentz, por serem definidas para um espaço-tempo de 4 dimensões, misturam as coordenadas do espaço (x,y,z) com a de tempo (t).Entretanto, havia sido demonstrado que as leis físicas tinham que ser invariantes por uma transformação de Lorentz. Isso quer dizer que as leis físicas não mudam quando são observadas em referencias inerciais, aqueles que estão em repouso ou em movimento retilíneo com elocidade constante. Consequentemente, um "elemento de linha" de uma geometria tem que ser invariante por uma transformação de Lorentz.
Vimos acima o elemento de linha que descreve um espaço de três dimensões. Vimos que essa expressão pode ser generalizada para um número qualquer de dimensões. Então, resta-nos perguntar qual seria a forma do elemento de linha que descreve a geometria do espaço-tempo de Lorentz, o espaço-tempo da teoria da relatividade restrita?
Nossa primeira idéia é acrescentar o termo temporal ao elemento de linha que descreve a distância entre dois pontos no caso tri-dimensional visto acima. Ficariamos com
ds² = dt² + dx1² + dx2² + dx3²
Mas isso está errado! Lembre-se que dx1, dx2 e dx3 são coordenadas de espaço, respectivamente dx, dy e dz, e, portanto, só podem somadas a outras coordenadas com dimensões de espaço. Como dt tem dimensão temporal nós o multiplicamos pela velocidade da luz para que o primeiro termo do elemento de linha acima também fique com as dimensões de
espaço (lembre-se que espaço = velocidade x tempo).
Se chamarmos o termo cdt de dx0, para mantermos a mesma forma das expressões usadas para as coordenadas do espaço, ficamos então com:
ds² = dx0² + dx1² + dx2² + dx3²
Essa seria a generalização quadri-dimensional da expressão que nos dá a distância entre dois pontos muito próximos no espaço Euclidiano.
Esse elemento de linha de um espaço-tempo de quatro dimensões está correto sob o ponto de vista de dimensões físicas (todos os termos tem dimensões de comprimento) mas, parafraseando Nelson Rodrigues, esse elemento de linha é "bonitinho mas ordinário". Ele não presta para descrever o espaço-tempo quadridimensional pois não é invariante por uma transformação de Lorentz!
Foi Minkowski quem mostrou que o "elemento de linha" invariante por uma transformação de Lorentz para um espaço-tempo com 4 dimensões deveria ser escrito como:
ds² = dx0² - dx1² - dx2² - dx3²
ou, equivalentemente,
ds² = - dx0² + dx1² + dx2² + dx3²
Com esse elemento de linha podemos falar de uma "geometria do espaço-tempo" do mesmo modo como falamos da geometria do espaço somente. Essa expressão é o elemento de linha ou métrica de um espaço-tempo plano 4-dimensional, também conhecido como espaço-tempo de Minkowski.
O conjunto de sinais (+ - - -) ou (- + + +) que antecedem os termos das expressões acima é chamado de assinatura da métrica. Note que ambos os conjuntos de sinais são corretos. Os dois elementos de linha descritos acima, com as duas assinaturas de métrica diferentes, são válidos para descrever o espaçotempo de Minkowski e esse espaço-tempo plano é onde definimos a teoria da relatividade restrita.
Como vimos anteriormente, podemos usar vários sistemas de coordenadas para descrever um espaço. Podemos usar as coordenadas cartesianas como feito acima, mas também podemos usar coordenadas cilíndricas e esféricas, por exemplo. Mostramos em um dos itens anteriores que as coordenadas esféricas são representadas por (��, ��, ��). As relações entre as coordenadas cartesianas (x, y, z) ou (x1, x2, x3) e as coordenadas esféricas (��, ��, ��) são dadas por:
x = x1 = �� sen �� cos ��
y = x2 = �� sen �� sen ��
z = x3 = �� cos ��
Se substituirmos isso na expressão da métrica de Minkowski dada acima teremos a expressão dessa métrica em coordenadas esféricas (que é a que os relativistas usam mais comumente):
ds2 = c2dt2 - dr2 - r2 (d��2 + sen2���� d��2)
Como dissemos antes essa é a expressão da distância entre dois pontos em um espaço-tempo
quadridimensional em coordenadas esféricas. Ela é invariante por uma transformação de Lorentz e, portanto, satisfaz às exigências da teoria da relatividade especial. Essa expressão é o elemento de linha de Minkowski ou métrica de Minkowski em coordenadas esféricas.
Um outro ponto a considerar é que se você compara a assinatura da métrica Euclidiana em um espaçotempo quadri-dimensional qualquer com a métrica de Minkowski nota imediatamente a diferença de sinal que existe entre elas. A métrica Euclidiana tem assinatura (+ + + +) enquanto que a métrica de Minkowski, por satisfazer às transformações de Lorentz, tem assinatura (+ - - -). A uma métrica que possui assinatura semelhante à métrica de Minkowski ou seja, com sinais diferentes em seus termos não importando se é (+ - - -) ou (- - - +), damos o nome de métrica pseudo-euclidiana.
DEFINIÇÃO TÉCNICA
Definição matemática de Espaço Euclidiano:
Seja V um espaço vetorial n-dimensional sobre R e seja �� uma forma bilinear simétrica em V tal que (v,v)��
- 0 para todo v em V com v diferente de 0. Então o par (V,��) é chamado de espaço Euclidiano.
Euclides: Geometria Euclidiana
O grande organizador da geometria grega é Euclides (300 a.C.). A base da geometria euclidiana, que dominou de forma absoluta até o século XIX, tem como postulado a existência de apenas uma linha paralela a uma linha “m” que contém um dado ponto não pertencente à linha “m”.
Teorema de Pitágoras, o mais importante da geometria euclidiana, foi “descoberto” empiricamente pelos agricultores egípcios, e só posteriormente foi depurado do seu conteúdo empírico pelos geômetras gregos.
A identificação da geometria euclidiana como sendo a própria geometria do mundo.
Com o desenvolvimento das Ciências, começou a ficar claro que, por trás do mundo do dia-a-dia, existe um Universo mais vasto que só pode ser interpretado com a ajuda de uma geometria mais ampla. Todavia, até ao século XIX, a arquitetura lógica euclidiana serviu de modelo de estruturação de outros ramos do conhecimento, pois foi considerada altamente satisfatória. Há que referir como exceção o 5º postulado que, desde a Antigüidade, despertou a atenção de vários matemáticos, o que acabará por conduzir ao aparecimento de novas geometrias.
A origem da geometria que ainda hoje é ensinada nas escolas remonta à Antiguidade; considera-se que os povos gregos, obedecendo a motivações de ordem prática suscitada por atividades como a Astronomia, a Navegação e a Agricultura, desenvolveram técnicas adequadas para medir a terra, iniciando-se na geometria.
Durante séculos esse sistema valeu como modelo insuperável do saber dedutivo: os termos da teoria são introduzidos depois de terem sido definidos e as proposições não são aceitas se não foram demonstradas. As proposições primitivas, base da cadeia sobre a qual se desenvolvem as deduções sucessivas, Euclides as escolhia de tal modo que ninguém pudesse levantar dúvidas sobre a sua veracidade: eram auto-evidentes, portanto isentas de demonstração. Leibniz afirmaria mais tarde que os gregos raciocinavam com toda a exatidão possível em matemática e deixaram à humanidade modelos de arte demonstrativa.
Euclides: Aplicações no ensino
Semelhança de Triângulos
Para que dois polígonos sejam semelhantes basta que tenham os ângulos correspondentes iguais e os lados correspondentes directamente proporcionais.
Afirmar que dois polígonos são semelhantes equivale a dizer que têm os ângulos correspondentes directamente proporcionais.
Critério de semelhança de triângulos: para que dois triângulos sejam semelhantes basta que tenham, de um para o outro, dois ângulos iguais.
Caso particular dos triângulos rectângulos: para que dois triângulos rectângulos sejam semelhantes basta que tenham, de um para outro, um ângulo agudo igual.
Para que dois polígonos sejam semelhantes basta que tenham os ângulos correspondentes iguais e os lados correspondentes directamente proporcionais.
Afirmar que dois polígonos são semelhantes equivale a dizer que têm os ângulos correspondentes directamente proporcionais.
Critério de semelhança de triângulos: para que dois triângulos sejam semelhantes basta que tenham, de um para o outro, dois ângulos iguais.
Caso particular dos triângulos rectângulos: para que dois triângulos rectângulos sejam semelhantes basta que tenham, de um para outro, um ângulo agudo igual.
Igualdade de triângulos
Dois triângulos são geometricamente iguais quando se podem fazer coincidir ponto por ponto. Sendo iguais dois triângulos, os lados de um são iguais aos do outro, o mesmo se verificando com os ângulos internos.
Critérios de igualdade de triângulos: 1º(lado, lado, lado): Para que dois triângulos sejam iguais basta que tenham os três lados iguais, cada um a cada um. 2º(lado, ângulo, lado): Para que dois triângulos sejam iguais basta que tenham dois lados e o ângulo por eles formado iguais, cada um a cada um. 3º(ângulo, lado, ângulo): Para que dois triângulos sejam iguais basta que tenham um lado e os dois ângulos adjacentes iguais, cada um a cada um.
Caso particular de triângulos rectângulos: Para que dois triângulos rectângulos sejam iguais, basta que tenham os catetos iguais, cada um a cada um. Para que dois triângulos rectângulos sejam iguais basta que tenham um cateto e o ângulo agudo que lhe é adjacente igual, cada um a cada um.
Em triângulos iguais: A lados iguais opõem-se ângulos iguais. A ângulos iguais opõem-se lados iguais.
Dois triângulos são geometricamente iguais quando se podem fazer coincidir ponto por ponto. Sendo iguais dois triângulos, os lados de um são iguais aos do outro, o mesmo se verificando com os ângulos internos.
Critérios de igualdade de triângulos: 1º(lado, lado, lado): Para que dois triângulos sejam iguais basta que tenham os três lados iguais, cada um a cada um. 2º(lado, ângulo, lado): Para que dois triângulos sejam iguais basta que tenham dois lados e o ângulo por eles formado iguais, cada um a cada um. 3º(ângulo, lado, ângulo): Para que dois triângulos sejam iguais basta que tenham um lado e os dois ângulos adjacentes iguais, cada um a cada um.
Caso particular de triângulos rectângulos: Para que dois triângulos rectângulos sejam iguais, basta que tenham os catetos iguais, cada um a cada um. Para que dois triângulos rectângulos sejam iguais basta que tenham um cateto e o ângulo agudo que lhe é adjacente igual, cada um a cada um.
Em triângulos iguais: A lados iguais opõem-se ângulos iguais. A ângulos iguais opõem-se lados iguais.
Números primos e compostos
Cada número natural, maior que um, tem, pelo menos, dois divisores: ele próprio e um.
Um número diz-se primo quando tem dois e só dois divisores, e diz-se composto quando tem mais de dois divisores.
Um número é divisível por 2 quando é par, é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é divisível por 3, e é divisível por 5 quando o algarismo das unidades é 0 ou 5.
Qualquer número composto é produto de factores primos.
Cada número natural, maior que um, tem, pelo menos, dois divisores: ele próprio e um.
Um número diz-se primo quando tem dois e só dois divisores, e diz-se composto quando tem mais de dois divisores.
Um número é divisível por 2 quando é par, é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é divisível por 3, e é divisível por 5 quando o algarismo das unidades é 0 ou 5.
Qualquer número composto é produto de factores primos.
Euclides: O quinto postulado
"Se uma linha reta cortar duas outras retas de modo que a soma dos dois ângulos internos de um mesmo lado seja menor do que dois retos, então essas duas retas, quando suficientemente prolongadas, cruzam-se do mesmo lado em que estão esses dois ângulos."
O quinto postulado do livro I, é mais famoso dos postulados de Euclides e aquele que tem dado mais dores de cabeça aos matemáticos. Equivalente ao «axioma das paralelas», de acordo com o qual, por um ponto exterior a uma recta, apenas passa uma outra recta paralela à dada, desde cedo que este postulado foi objecto de polémica por não possuir o mesmo grau de "evidência" que os restantes.
Prólogo (410 - 485), criticou este postulado nos seguintes termos:
"Este postulado deve ser riscado da lista, pois é uma proposição com muitas dificuldades que Ptolomeu, em certo livro, se propôs resolver... A asserção de que duas linhas rectas, por convergirem mais e mais à medida que forem sendo prolongadas, acabam por se encontrar, é plausível mas não necessária. (...) É claro, portanto, que devemos procurar uma demonstração do presente teorema, e que este é estranho ao carácter especial dos postulados."
O próprio Euclides e muitos dos seus sucessores tentaram demonstrar esta proposição a partir de outros axiomas da geometria. Mas sempre em vão. Esta impossibilidade foi durante séculos o escândalo da geometria e o desespero dos geómetra.
A primeira tentativa de demonstração de que há conhecimento é de Ptolomeu de Alexandria (c. 90 - 168). Outro exemplo de uma tentativa frustrada de contornar o quinto postulado de Euclides é feita por John Wallis (1616 - 1703), matemático britânico antecessor de Isaac Newton (1643 - 1727). De facto, Wallis não fez mais do que propor um novo enunciado do quinto postulado de Euclides.
O padre jesuíta G. Saccheri (1667 - 1733) foi talvez o primeiro a ensaiar uma abordagem inteiramente nova. No seu último livro Euclides ab omni naevo vindicatus tentou utilizar a técnica de redução ao absurdo, admitindo a negação do postulado do paralelismo de Euclides com vista a obter algum absurdo ou contradição. Sem o saber Saccheri tinha descoberto a geometria não-euclidiana!
O trabalho de Saccheri permaneceu ignorado durante século e meio. Outros grandes matemáticos, como Karl Gauss (1777 - 1855), o príncipe dos matemáticos, redescobriram e desenvolveram a geometria em bases semelhantes às de Saccheri (negando o quinto postulado), sem nunca chegarem a uma contradição.
Gauss chega mesmo a escrever:
"Estou cada vez mais convencido de que a necessidade da nossa geometria (euclidiana) não pode ser demonstrada, pelo menos não pela razão humana, nem por culpa dela. Talvez, numa outra vida, consigamos obter a intuição sobre a natureza do espaço que, no presente, é inantingível."
Outros, mais ousados, não recuaram perante o estranho mundo novo que se abria a seus olhos. O jovem húngaro Janos Bolyai (1802 - 1860) admite a negação do postulado do paralelismo de Euclides como hipótese não absurda, isto é, como um novo postulado, a juntar aos postulados habituais da geometria absoluta. Pela mesma época, e trabalhando independentemente, o jovem russo Nicolai Lobachewski (1792 - 1856) publica em 1829 a sua versão da geometria não euclidiana à qual chama, primeiramente "imaginária" e depois "pangeometria". Atualmente, esta geometria é chamada Geometria Hiperbólica.
Foi necessário esperar até ao século XIX para que Karl Friedrich Gauss, Janos Bolyai, Bernard Diemann e Nicolai Ivanovich Lobachevski conseguissem demonstrar que se trata efectivamente de um axioma, necessário e independente dos outros. Supuseram que o postulado de Euclides não era verdadeiro e substituíram-no por outros axiomas:
De fato, conclui-se que o quinto postulado é o que distingue a Geometria não Euclidiana da Geometria Euclidiana.
O quinto postulado do livro I, é mais famoso dos postulados de Euclides e aquele que tem dado mais dores de cabeça aos matemáticos. Equivalente ao «axioma das paralelas», de acordo com o qual, por um ponto exterior a uma recta, apenas passa uma outra recta paralela à dada, desde cedo que este postulado foi objecto de polémica por não possuir o mesmo grau de "evidência" que os restantes.
Prólogo (410 - 485), criticou este postulado nos seguintes termos:
"Este postulado deve ser riscado da lista, pois é uma proposição com muitas dificuldades que Ptolomeu, em certo livro, se propôs resolver... A asserção de que duas linhas rectas, por convergirem mais e mais à medida que forem sendo prolongadas, acabam por se encontrar, é plausível mas não necessária. (...) É claro, portanto, que devemos procurar uma demonstração do presente teorema, e que este é estranho ao carácter especial dos postulados."
O próprio Euclides e muitos dos seus sucessores tentaram demonstrar esta proposição a partir de outros axiomas da geometria. Mas sempre em vão. Esta impossibilidade foi durante séculos o escândalo da geometria e o desespero dos geómetra.
A primeira tentativa de demonstração de que há conhecimento é de Ptolomeu de Alexandria (c. 90 - 168). Outro exemplo de uma tentativa frustrada de contornar o quinto postulado de Euclides é feita por John Wallis (1616 - 1703), matemático britânico antecessor de Isaac Newton (1643 - 1727). De facto, Wallis não fez mais do que propor um novo enunciado do quinto postulado de Euclides.
O padre jesuíta G. Saccheri (1667 - 1733) foi talvez o primeiro a ensaiar uma abordagem inteiramente nova. No seu último livro Euclides ab omni naevo vindicatus tentou utilizar a técnica de redução ao absurdo, admitindo a negação do postulado do paralelismo de Euclides com vista a obter algum absurdo ou contradição. Sem o saber Saccheri tinha descoberto a geometria não-euclidiana!
O trabalho de Saccheri permaneceu ignorado durante século e meio. Outros grandes matemáticos, como Karl Gauss (1777 - 1855), o príncipe dos matemáticos, redescobriram e desenvolveram a geometria em bases semelhantes às de Saccheri (negando o quinto postulado), sem nunca chegarem a uma contradição.
Gauss chega mesmo a escrever:
"Estou cada vez mais convencido de que a necessidade da nossa geometria (euclidiana) não pode ser demonstrada, pelo menos não pela razão humana, nem por culpa dela. Talvez, numa outra vida, consigamos obter a intuição sobre a natureza do espaço que, no presente, é inantingível."
Outros, mais ousados, não recuaram perante o estranho mundo novo que se abria a seus olhos. O jovem húngaro Janos Bolyai (1802 - 1860) admite a negação do postulado do paralelismo de Euclides como hipótese não absurda, isto é, como um novo postulado, a juntar aos postulados habituais da geometria absoluta. Pela mesma época, e trabalhando independentemente, o jovem russo Nicolai Lobachewski (1792 - 1856) publica em 1829 a sua versão da geometria não euclidiana à qual chama, primeiramente "imaginária" e depois "pangeometria". Atualmente, esta geometria é chamada Geometria Hiperbólica.
Foi necessário esperar até ao século XIX para que Karl Friedrich Gauss, Janos Bolyai, Bernard Diemann e Nicolai Ivanovich Lobachevski conseguissem demonstrar que se trata efectivamente de um axioma, necessário e independente dos outros. Supuseram que o postulado de Euclides não era verdadeiro e substituíram-no por outros axiomas:
- Por um ponto exterior a uma reta, podemos traçar uma infinidade de paralelas a esta reta (geometria de Lobachevski);
- Por um ponto exterior a uma reta não podemos traçar nenhuma paralela a esta reta (geometria de Riemann).
- A geometria euclidiana, por vezes também chamada parabólica;
- A geometria de Lobachevski, também chamada hiperbólica;
- A geometria do Riemann, também chamada elíptica ou esférica.
De fato, conclui-se que o quinto postulado é o que distingue a Geometria não Euclidiana da Geometria Euclidiana.
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