Euclides: Axiomas

Os axiomas de Euclides são os seguintes:

1. dados dois pontos há um intervalo que os une.
2. um intervalo pode ser prolongado indefinidamente.
3. um círculo pode ser construido quando seu centro e um ponto sobre ele são dados.
4. todos os ângulos retos são iguais.
5. se uma linha reta inclinada sobre duas linhas retas faz os ângulos interiores do mesmo lado menores do que dois ângulos retos, as duas linhas retas, se prolongadas indefinidamente, se encontram naquele lado no qual os ângulos são menores do que dois ângulos retos.

Vemos que o quinto postulado de Euclides tem um enunciado bem mais complicado que os outros.

Na verdade ele pode ser colocado de uma maneira bem mais simples:

"Através de um ponto C, não localizado sobre uma dada linha reta AB, somente uma linha reta paralela a AB pode ser traçada, ou seja, uma linha situada no mesmo plano onde está a linha reta dada e que não a intersepta."

ou então

"Duas linhas paralelas são equidistantes"
Por mais de 2000 anos os matemáticos têm tentado demonstrar esse postulado sem sucesso.

A geometria Euclidiana é aquela que as pessoas comuns usam na sua vida diária. Nessa geometria soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180o, como vemos na figura ao lado.


Em uma geometria plana, ou geometria euclidiana, a distância entre dois pontos pode ser facilmente calculada. Se considerarmos somente

• uma dimensão: a distância entre dois pontos será dada por ds

ds= dx2 - dx1

• duas dimensões:

essa distância será obtida por intermédio do chamado "teorema de Pitágoras" (o quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo e igual à soma dos quadrados dos catetos)

ds2 = dx2 + dy2

• três dimensões:

a distância entre os dois pontos será obtida a partir da relação:

ds2 = dx2 + dy2 + dz2

Essas são as expressões que nos dão a distância entre dois pontos em uma geometria euclidiana, não importando se eles estão muito afastados ou muitíssimo próximos.

No entanto, embora o nosso mundo diário seja descrito por três dimensões espaciais, a matemática está ligando muito pouco para isso! Para ela um espaço pode ter um número qualquer de dimesões, até mesmo infinitas dimensões. E é essa a generalização que faremos agora, uma vez que precisaremos disso mais tarde.

Vamos então generalizar as expressões mostradas acima, e que nos ensinam como medir a distância entre dois pontos, para um número qualquer de dimensões espaciais. Para isso é melhor substituir as coordenadas x, y, z por xn onde n é um índice que pode ser igual a qualquer número inteiro positivo. Assim x será substituido por x1, y será escrito como x2, z será x3, e assim por diante até atingirmos o número equivalente à dimensão do espaço que queremos estudar. Em geral se queremos dizer que o espaço tem um número qualquer de dimensões escrevemos xn onde n assume os valores 1, ou 2, ou 3 ou qualquer outro valor inteiro positivo. Isso pode ser resumido escrevendo-se n = 1, 2, 3,...

Podemos então generalizar a expressão que nos dá a distância entre dois pontos em um espaço euclidiano de dimensão qualquer n escrevendo
ds² = dx1² + dx2² + dx3² + ..... + dxn²

onde n = 1, 2, 3, 4, ....

A expressão ds², que é chamada de elemento de linha ou métrica, é de importância vital nos cálculos da teoria da relatividade geral. A partir desse momento sempre que nos referirmos à distância entre dois pontos em um espaço de qualquer dimensão sempre a representaremos por ds².

Voltemos então às transformações de Lorentz, mostradas ao lado. Já sabemos que elas nos ensinam como estão relacionadas as coordenadas de um corpo vistas em um referencial em repouso e em um referencial que se desloca com velocidade constante v. Note que as transformações de Lorentz, por serem definidas para um espaço-tempo de 4 dimensões, misturam as coordenadas do espaço (x,y,z) com a de tempo (t).

Entretanto, havia sido demonstrado que as leis físicas tinham que ser invariantes por uma transformação de Lorentz. Isso quer dizer que as leis físicas não mudam quando são observadas em referencias inerciais, aqueles que estão em repouso ou em movimento retilíneo com elocidade constante. Consequentemente, um "elemento de linha" de uma geometria tem que ser invariante por uma transformação de Lorentz.

Vimos acima o elemento de linha que descreve um espaço de três dimensões. Vimos que essa expressão pode ser generalizada para um número qualquer de dimensões. Então, resta-nos perguntar qual seria a forma do elemento de linha que descreve a geometria do espaço-tempo de Lorentz, o espaço-tempo da teoria da relatividade restrita?

Nossa primeira idéia é acrescentar o termo temporal ao elemento de linha que descreve a distância entre dois pontos no caso tri-dimensional visto acima. Ficariamos com
ds² = dt² + dx1² + dx2² + dx3²

Mas isso está errado! Lembre-se que dx1, dx2 e dx3 são coordenadas de espaço, respectivamente dx, dy e dz, e, portanto, só podem somadas a outras coordenadas com dimensões de espaço. Como dt tem dimensão temporal nós o multiplicamos pela velocidade da luz para que o primeiro termo do elemento de linha acima também fique com as dimensões de
espaço (lembre-se que espaço = velocidade x tempo).

Se chamarmos o termo cdt de dx0, para mantermos a mesma forma das expressões usadas para as coordenadas do espaço, ficamos então com:
ds² = dx0² + dx1² + dx2² + dx3²

Essa seria a generalização quadri-dimensional da expressão que nos dá a distância entre dois pontos muito próximos no espaço Euclidiano.

Esse elemento de linha de um espaço-tempo de quatro dimensões está correto sob o ponto de vista de dimensões físicas (todos os termos tem dimensões de comprimento) mas, parafraseando Nelson Rodrigues, esse elemento de linha é "bonitinho mas ordinário". Ele não presta para descrever o espaço-tempo quadridimensional pois não é invariante por uma transformação de Lorentz!

Foi Minkowski quem mostrou que o "elemento de linha" invariante por uma transformação de Lorentz para um espaço-tempo com 4 dimensões deveria ser escrito como:
ds² = dx0² - dx1² - dx2² - dx3²

ou, equivalentemente,
ds² = - dx0² + dx1² + dx2² + dx3²

Com esse elemento de linha podemos falar de uma "geometria do espaço-tempo" do mesmo modo como falamos da geometria do espaço somente. Essa expressão é o elemento de linha ou métrica de um espaço-tempo plano 4-dimensional, também conhecido como espaço-tempo de Minkowski.

O conjunto de sinais (+ - - -) ou (- + + +) que antecedem os termos das expressões acima é chamado de assinatura da métrica. Note que ambos os conjuntos de sinais são corretos. Os dois elementos de linha descritos acima, com as duas assinaturas de métrica diferentes, são válidos para descrever o espaçotempo de Minkowski e esse espaço-tempo plano é onde definimos a teoria da relatividade restrita.

Como vimos anteriormente, podemos usar vários sistemas de coordenadas para descrever um espaço. Podemos usar as coordenadas cartesianas como feito acima, mas também podemos usar coordenadas cilíndricas e esféricas, por exemplo. Mostramos em um dos itens anteriores que as coordenadas esféricas são representadas por (��, ��, ��). As relações entre as coordenadas cartesianas (x, y, z) ou (x1, x2, x3) e as coordenadas esféricas (��, ��, ��) são dadas por:

x = x1 = �� sen �� cos ��
y = x2 = �� sen �� sen ��
z = x3 = �� cos ��

Se substituirmos isso na expressão da métrica de Minkowski dada acima teremos a expressão dessa métrica em coordenadas esféricas (que é a que os relativistas usam mais comumente):
ds2 = c2dt2 - dr2 - r2 (d��2 + sen2���� d��2)

Como dissemos antes essa é a expressão da distância entre dois pontos em um espaço-tempo
quadridimensional em coordenadas esféricas. Ela é invariante por uma transformação de Lorentz e, portanto, satisfaz às exigências da teoria da relatividade especial. Essa expressão é o elemento de linha de Minkowski ou métrica de Minkowski em coordenadas esféricas.

Um outro ponto a considerar é que se você compara a assinatura da métrica Euclidiana em um espaçotempo quadri-dimensional qualquer com a métrica de Minkowski nota imediatamente a diferença de sinal que existe entre elas. A métrica Euclidiana tem assinatura (+ + + +) enquanto que a métrica de Minkowski, por satisfazer às transformações de Lorentz, tem assinatura (+ - - -). A uma métrica que possui assinatura semelhante à métrica de Minkowski ou seja, com sinais diferentes em seus termos não importando se é (+ - - -) ou (- - - +), damos o nome de métrica pseudo-euclidiana.


DEFINIÇÃO TÉCNICA
Definição matemática de Espaço Euclidiano:

Seja V um espaço vetorial n-dimensional sobre R e seja �� uma forma bilinear simétrica em V tal que (v,v)��

• 0 para todo v em V com v diferente de 0. Então o par (V,��) é chamado de espaço Euclidiano.